特征函数
1.数列特征方程2.矩阵特征方程3.微分方程特征方程4.积分方程特征方程
特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，这些等式描述了特定对象的特性。依据研究的对象不同，特征方程包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。
1.数列特征方程
数列的特征方程 可以用于求导 数列通项公式。 数列的二阶线性推导：
a
n
+
1
=
p
a
n
+
q
a
n
−
1
a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}
an+1=pan+qan−1 由待定系数法，对比下列等比公式:
a
n
+
1
−
t
a
n
=
s
(
a
n
−
t
a
n
−
1
)
a_{n+1}-ta_n=s(a_n-ta_{n-1})
an+1−tan=s(an−tan−1) 可得：
{
p
=
s
+
t
.
.
.
(
1
)
y
=
s
t
.
.
.
(
2
)
\left\{ \begin{aligned} p & = & s+t...(1) \\ y & = & st...(2)\\ \end{aligned} \right.
{py==s+t...(1)st...(2) 一般情况下上面方程组有两组不同的解
(
t
1
,
s
1
)
(
t
2
,
s
2
)
(t_1,s_1)(t_2,s_2)
(t1,s1)(t2,s2)（特殊情况详见参考资料），依据等比数列通项公式可得吗：
{
a
n
+
1
−
t
1
a
n
=
(
a
2
−
t
1
a
1
)
s
1
n
−
1
.
.
.
(
3
)
a
n
+
1
−
t
2
a
n
=
(
a
2
−
t
2
a
1
)
s
2
n
−
1
.
.
.
(
4
)
\left\{ \begin{aligned} a_{n+1}-t_1a_n& = & (a_2-t_1a_1)s_1^{n-1}...(3) \\ a_{n+1}-t_2a_n& = & (a_2-t_2a_1)s_2^{n-1}...(4)\\ \end{aligned} \right.
{an+1−t1anan+1−t2an==(a2−t1a1)s1n−1...(3)(a2−t2a1)s2n−1...(4) (3)-(4)化简得：
a
n
=
a
2
−
t
1
a
1
(
t
2
−
t
1
)
s
1
s
1
n
+
a
2
−
t
2
a
1
(
t
2
−
t
1
)
s
1
s
2
n
=
c
1
s
1
n
+
c
2
s
2
n
a_n=\frac{a_2-t_1a_1}{(t_2-t_1)s_1}s_1^n+\frac{a_2-t_2a_1}{(t_2-t_1)s_1}s_2^n=c_1s_1^n+c_2s_2^n
an=(t2−t1)s1a2−t1a1s1n+(t2−t1)s1a2−t2a1s2n=c1s1n+c2s2n 即只需知道
s
1
,
s
2
s_1,s_2
s1,s2，通过初始条件(
a
1
,
a
2
a_1,a_2
a1,a2的已知值)求解系数
c
1
,
c
2
c_1,c_2
c1,c2即可。
好像求到这里没有数列特征方程什么事啊！那数列的特征方程是怎么回事呢？其实，
s
1
,
s
2
s_1,s_2
s1,s2是求数列特征方程的根。
通过求解第一个方程组可以求得s，将(2)式子带入(1)式，消去t，方程组变为求解下面二元一次方程：
s
2
−
p
s
−
q
=
0
s^2-ps-q=0
s2−ps−q=0
此方程即定义为数列二阶线性推到的特征方程。
以上推导过程，总结由数列的二次递推式
a
n
+
1
=
p
a
n
+
q
a
n
−
1
a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}
an+1=pan+qan−1 求解 通项公式的步骤： step1:求解数列特征方程
s
2
−
p
s
−
q
=
0
−
>
(
s
1
,
s
2
)
s^2-ps-q=0->(s_1,s_2)
s2−ps−q=0−>(s1,s2) step2:由初始条件求解
c
1
,
c
2
c_1,c_2
c1,c2 step3: 通项公式为
a
n
=
c
1
s
1
n
+
c
2
s
2
n
a_n=c_1s_1^n+c_2s_2^n
an=c1s1n+c2s2n
参考资料: https://wenku.baidu.com/view/8824638caef8941ea76e0592.html https://blog.csdn.net/qq_20340417/article/details/78433961
2.矩阵特征方程
（矩阵的特征方程是我最经常看到的特征方程，在写这篇文章之前。我一直以为特征方程指的就是矩阵的特征方程。咦，闲话不多说）
矩阵的特征方程 可以用于求解矩阵的特征值。
每个事物都具有许多的特征，这些特征用于表示该事物的某些属性，矩阵也不例外地具有许多特征。在一个方阵A的众多特征中，其 特征值与特征向量 是两个比较典型的特征。一个方阵A的特征值
λ
\lambda
λ与特征向量
x
x
x为满足下式：
A
x
=
λ
x
.
.
.
(
2.1
)
Ax=\lambda x...(2.1)
Ax=λx...(2.1)
上式的几何含义：对向量
x
x
x做变换
A
A
A，其效果等价于对
x
x
x做伸缩变换，伸缩系数为
λ
\lambda
λ。
特征值和特征向量的定义和几何意义很明确，那么如何求解
x
,
λ
x,\lambda
x,λ 呢？将(2.1)式移项得：
A
x
−
λ
x
=
0
−
>
(
A
−
λ
I
)
x
=
0...
(
2.2
)
Ax-\lambda x=0->(A-\lambda I)x=0...(2.2)
Ax−λx=0−>(A−λI)x=0...(2.2) 如果特征向量
x
=
[
x
1
,
x
−
2
,
.
.
.
,
x
n
]
x=[x_1,x-2,...,x_n]
x=[x1,x−2,...,xn]为n维向量，那么对式(2.2)求解
x
x
x的过程 等价于 求解一个n元一次方程组。n元一次方程组有非零解的 充要条件 为：系数矩阵的行列式为0，即：
∣
A
−
λ
I
∣
=
0...
(
2.3
)
|A-\lambda I|=0...(2.3)
∣A−λI∣=0...(2.3)
式子(2.3)即为矩阵A的特征方程。
以上推导过程，总结求解方阵A 特征值与特征多项式的步骤： step1:求解特征方程：
∣
A
−
λ
I
∣
=
0
|A-\lambda I|=0
∣A−λI∣=0 step2:带
λ
\lambda
λ入(2.2)式求解特征向量
x
x
x
参考资料：https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC/8309765?fr=aladdin
3.微分方程特征方程
微分方程的特征方程可以用于求解 二阶 常系数 齐次 常微分方程。
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式，如：
d
y
d
x
=
2
x
.
.
(
3.1
)
\frac{dy}{dx}=2x..(3.1)
dxdy=2x..(3.1)
解微分方程就是找出未知函数，如：
y
=
x
2
+
C
y=x^2+C
y=x2+C
C
C
C由微分方程的约束条件确定。
微分方程的阶数由方程中函数的几次导数决定,（3.1）式子为阶微分方程；只含有一个未知数的微分方程为常微分方程。
二阶 常系数 齐次 常微分方程：
y
′
′
+
p
y
′
+
q
y
=
0...
(
3.2
)
y''+py'+qy=0...(3.2)
y′′+py′+qy=0...(3.2) 只要满足式(3.2)的函数就是其解，可以假设
y
=
e
r
x
y=e^{rx}
y=erx,求解合适的
r
r
r满足(3.2)式。(为啥设置
y
=
e
r
x
y=e^{rx}
y=erx的具体原因我忘记了)
将
y
=
e
r
x
y=e^{rx}
y=erx带入(3.2)式子，有：
(
r
2
+
p
r
+
q
)
e
r
x
=
0...
(
3.2
)
(r^2+pr+q)e^{rx}=0...(3.2)
(r2+pr+q)erx=0...(3.2)
因为：
e
r
x
e^{rx}
erx恒大于0，所以只有：
r
2
+
p
r
+
q
=
0...
(
3.4
)
r^2+pr+q=0...(3.4)
r2+pr+q=0...(3.4)
的
r
r
r才能使(3.3)式为0。式子(3.4)为二阶 常系数 齐次 常微分方程的特征方程，解特征方程得
r
1
,
r
2
r_1,r_2
r1,r2（假定有两个不相等的实数解，其他情况，详见参考资料），那么
y
1
=
e
r
1
x
,
y
2
=
e
r
2
x
y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}
y1=er1x,y2=er2x为方程的两个解，这两个解的各种线性组合也是微分方程的解，所以，微分方程的通解为：
y
=
c
1
e
r
1
x
+
c
2
e
r
2
x
.
.
.
(
3.5
)
y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}...(3.5)
y=c1er1x+c2er2x...(3.5)
以上推导过程，总结求解 二阶常系数齐次常微分方程 的步骤： step1:求解特征方程：
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^2+pr+q=0
r2+pr+q=0 step2:依据初始条件求解系数
c
1
,
c
2
c_1,c_2
c1,c2 step3:带入3.5式，二阶常系数齐次常微分方程的通解为：
y
=
c
1
e
r
1
x
+
c
2
e
r
2
x
.
.
.
(
3.5
)
y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}...(3.5)
y=c1er1x+c2er2x...(3.5)
参考资料： https://baike.baidu.com/item/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/4763?fr=aladdin https://blog.csdn.net/low5252/article/details/90758604
4.积分方程特征方程
积分方程是含有 对未知函数的积分运算 的方程，与微分方程相对。如果积分方程中只含有位置。 积分方程中有核函数
k
(
x
,
y
)
k(x,y)
k(x,y),核函数可以展开成特征值与特征函数加权和
k
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
∞
1
λ
i
ψ
i
(
x
)
ψ
i
(
y
)
k(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_i}\psi_i(x)\psi_i(y)
k(x,y)=i=1∑∞λi1ψi(x)ψi(y)
具体内容详见下面资料。（本部分还不会，逃！总有一天我会回来的）
参考材料：https://wenku.baidu.com/view/344127efaf45b307e87197f2